- 目錄
【第1篇 2023高一數(shù)學集合知識點總結(jié)
一．知識歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互異性（若a?a，b?a，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：n，z，q，r，n_
2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1）子集：若對_∈a都有_∈b，則a b（或a b）；
2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；記為a b（或 ，且 ）
3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5）補集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，則? a ；
②若 ， ，則 ；
③若 且 ，則a=b（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；
④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。
5．交、并集運算的性質(zhì)
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；
6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二．例題講解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z}；對于集合n：{_|_= ,n∈z}
對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ b ）
a．m=n b．m n c．n m d．
解：
當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b
例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為
a）1 b）2 c）3 d）4
分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。
變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為
a）5個 b）6個 c）7個 d）8個
變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
例5已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。 三.隨堂演練
選擇題
1． 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（a）5個 （b）6個 （c）7個 （d）8個
3．集合a={_ } b={ } c={ }又 則有
（a）（a+b） a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個
4．設(shè)a、b是全集u的兩個子集，且a b，則下列式子成立的是
（a）cua cub （b）cua cub=u
（c）a cub= （d）cua b=
5．已知集合a={ }， b={ }則a =
（a）r （b）{ }
（c）{ } （d）{ }
6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（_-1）2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是
（a）只有（1）和（4） （b）只有（2）和（3）
（c）只有（2） （d）以上語句都不對
7．設(shè)s、t是兩個非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=
（a）_ （b）t （c）φ （d）s
8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式a_2+b_+c 0的解集為
（a）r （b） （c）{ } （d）{ }
填空題
9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，則_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r，則a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b，則實數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負奇數(shù)}，若a （cub）={3，7，15}，（cua） b={13，17，19}，又（cua） （cub）= ，則a b=
解答題
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求實數(shù)a。
16(12分)設(shè)a= ， b= ，
其中_ r,如果a b=b，求實數(shù)a的取值范圍。
四.習題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空題
9．{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a
（ⅰ）b= 時， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}時， 0 得a=-1
（ⅲ）b={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實數(shù)a=1 或a -1
【第2篇 2023高一數(shù)學集合知識點總結(jié)歸納
高一數(shù)學集合知識點總結(jié)
一．知識歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互異性（若a?a，b?a，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：n，z，q，r，n_
2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1）子集：若對_∈a都有_∈b，則a b（或a b）；
2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；記為a b（或 ，且 ）
3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5）補集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，則? a ；
②若 ， ，則 ；
③若 且 ，則a=b（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；
④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。
5．交、并集運算的性質(zhì)
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；
6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二．例題講解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z}；對于集合n：{_|_= ,n∈z}
對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ b ）
a．m=n b．m n c．n m d．
解：
當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b
【第3篇 2023高考數(shù)學知識點總結(jié)：集合知識點匯總
一.知識歸納：
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數(shù)集：n，z，q，r，n_
2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1)子集：若對_∈a都有_∈b，則a b(或a b);
2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或，且 )
3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)補集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，則? a ;
②若， ，則 ;
③若且 ，則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集運算的性質(zhì)
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
二.例題講解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z};對于集合n：{_|_= ,n∈z}
對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合， ，則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解：
當時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b
例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為
a)1 b)2 c)3 d)4
分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。
變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為
a)5個 b)6個 c)7個 d)8個
變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有個 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
點評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當時，a_-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
例5已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解
令當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
【第4篇 2023年高一數(shù)學集合知識點總結(jié)
一．知識歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性（a?a和a?a，二者必居其一）、互異性（若a?a，b?a，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：n，z，q，r，n_
2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1）子集：若對_∈a都有_∈b，則a b（或a b）；
2）真子集：a b且存在_0∈b但_0 a；記為a b（或 ，且 ）
3）交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4）并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5）補集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，則? a ；
②若 ， ，則 ；
③若 且 ，則a=b（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：（1） 與 、?的區(qū)別；（2） 與 的區(qū)別；（3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
①a∩b=a a b；②a∪b=b a b；③a b c ua c ub；
④a∩cub = 空集 cua b；⑤cua∪b=i a b。
5．交、并集運算的性質(zhì)
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a；②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a；
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub；
6．有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。
二．例題講解：
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z}；對于集合n：{_|_= ,n∈z}
對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ b ）
a．m=n b．m n c．n m d．
解：
當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b
例2定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為
a）1 b）2 c）3 d）4
分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。
變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為
a）5個 b）6個 c）7個 d）8個
變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
例5已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1． 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（a）5個 （b）6個 （c）7個 （d）8個
3．集合a={_ } b={ } c={ }又 則有
（a）（a+b） a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個
4．設(shè)a、b是全集u的兩個子集，且a b，則下列式子成立的是
（a）cua cub （b）cua cub=u
（c）a cub= （d）cua b=
5．已知集合a={ }， b={ }則a =
（a）r （b）{ }
（c）{ } （d）{ }
6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（_-1）2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是
（a）只有（1）和（4） （b）只有（2）和（3）
（c）只有（2） （d）以上語句都不對
7．設(shè)s、t是兩個非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=
（a）_ （b）t （c）φ （d）s
8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式a_2+b_+c 0的解集為
（a）r （b） （c）{ } （d）{ }
填空題
9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，則_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r，則a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b，則實數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負奇數(shù)}，若a （cub）={3，7，15}，（cua） b={13，17，19}，又（cua） （cub）= ，則a b=
解答題
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求實數(shù)a。
16(12分)設(shè)a= ， b= ，
其中_ r,如果a b=b，求實數(shù)a的取值范圍。
四.習題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空題
9．{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a
（ⅰ）b= 時， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}時， 0 得a=-1
（ⅲ）b={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實數(shù)a=1 或a -1
【第5篇 高一數(shù)學集合知識點總結(jié)
一.知識歸納：
1.集合的有關(guān)概念。
1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每一個對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。
②集合中的元素具有確定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互異性(若a?a，b?a，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件
2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3)集合的分類：有限集，無限集，空集。
4)常用數(shù)集：n，z，q，r，n_
2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。
1)子集：若對_∈a都有_∈b，則a b(或a b);
2)真子集：a b且存在_0∈b但_0 a;記為a b(或 ，且 )
3)交集：a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集：a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)補集：cua={_| _ a但_∈u}
注意：①? a，若a≠?，則? a ;
②若 ， ，則 ;
③若 且 ，則a=b(等集)
3.弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：(1) 與 、?的區(qū)別;(2) 與 的區(qū)別;(3) 與 的區(qū)別。
4.有關(guān)子集的幾個等價關(guān)系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集運算的性質(zhì)
①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的個數(shù)：設(shè)集合a的元素個數(shù)是n，則a有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。
二.例題講解：
【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z}，則m,n,p滿足關(guān)系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合m：{_|_= ,m∈z};對于集合n：{_|_= ,n∈z}
對于集合p：{_|_= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以m n=p，故選b。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，
= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以選b。
點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解：
當 時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選b
【例2】定義集合a_b={_|_∈a且_ b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，則a_b的子集個數(shù)為
a)1 b)2 c)3 d)4
分析：確定集合a_b子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。
解答：∵a_b={_|_∈a且_ b}， ∴a_b={1,7}，有兩個元素，故a_b的子集共有22個。選d。
變式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，則6?a∈m，那么集合m的個數(shù)為
a)5個 b)6個 c)7個 d)8個
變式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合a的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有 個 .
【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。
解答：∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求實數(shù)b,c,m的值.
解：∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b滿足：a∪b={_|_>-2}，且a∩b={_|1
分析：先化簡集合a，然后由a∪b和a∩b分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于b，哪些元素不屬于b。
解答：a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。
綜合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
變式1：若a={_|_3+2_2-8_>0}，b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
點評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0}，若m∩n=n，求所有滿足條件的a的集合。
解答：m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①當 時，a_-1=0無解，∴a=0 ②
綜①②得：所求集合為{-1，0， }
【例5】已知集合 ，函數(shù)y=log2(a_2-2_+2)的定義域為q，若p∩q≠φ，求實數(shù)a的取值范圍。
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式a_2-2_+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：(1)若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當 時，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于_的方程 有實根,求實數(shù)a的取值范圍。
解答：
點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
三.隨堂演練
選擇題
1. 下列八個關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個數(shù)
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1，2，3}的真子集共有
(a)5個 (b)6個 (c)7個 (d)8個
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 則有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一個
4.設(shè)a、b是全集u的兩個子集，且a b，則下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }， b={ }則a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合; (2)由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正確的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上語句都不對
7.設(shè)s、t是兩個非空集合，且s t，t s，令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8設(shè)一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式a_2+b_+c 0的解集為
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空題
9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b，則_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r，則a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是
13設(shè)集合a={ },b={_ },且a b，則實數(shù)k的取值范圍是。
14.設(shè)全集u={_ 為小于20的非負奇數(shù)}，若a (cub)={3，7，15}，(cua) b={13，17，19}，又(cua) (cub)= ，則a b=
解答題
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求實數(shù)a。
16(12分)設(shè)a= ， b= ，
其中_ r,如果a b=b，求實數(shù)a的取值范圍。
四.習題答案
選擇題
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空題
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答題
15.a=-1
16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a
(ⅰ)b= 時， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}時， 0 得a=-1
(ⅲ)b={0，-4}， 解得a=1
綜上所述實數(shù)a=1 或a -1
